Das Spezifische mathematischen Erkennens. Ein transversaler Vergleich zwischen mathematikphilosophischen Positionen in Antike und Gegenwart
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Philipps-Universität Marburg
Abstract
Diese Dissertation untersucht den spezifischen Charakter des mathematischen Erkennens aus
der Perspektive der antiken und modernen Philosophie der Mathematik. Ihre vier Hauptthesen befassen sich mit Parallelen zwischen platonischem Ideenrealismus und aristotelischem Abstraktionsrealismus in Bezug auf Gleichheit als Grundlage des mathematischen Erkenntnisaktes (These 1a), dem erkenntnistheoretischen Spalt zwischen der sinnlichen Welt und mathematischen Objekten, der bereits in der Antike entstand (These 1b), wie moderne Denkschulen und ausgewählte Autoren mit den metaphysischen Grundlagen der Mathematik umgehen (These 2), und wie der epistemische Spalt potenziell überbrückt werden könnte (These 3).
Das erste Kapitel untersucht die mathematikphilosophischen Positionen von Platon und Aristoteles. Es wird argumentiert, dass beide zentrale Parallelen im Hinblick auf die Anerkennung der Gleichheit von zunehmend komplexeren Strukturen für den Erkenntnisakt aufweisen, welche auch die Grundlage für das mathematische Erkennen ausmacht. Die spezifischen Modi der sinnlichen und intellektuellen Erkenntnisweisen unterscheiden sich in ihrer Klarheit der Objekterfassung. Es entsteht jedoch eine erkenntnistheoretische Lücke zwischen der sinnlichen Welt und mathematischen Objekten.
Das zweite Kapitel betrachtet, wie diese Lücke in der Spätantike behandelt wurde, insbesondere in den Werken von Plotin und Proklos. Proklos versucht insbesondere, die platonische Lehre der Anamnesis mit Aristotelesʼ Konzept der Abstraktion zu integrieren. Durch die Abstraktion mathematischer Inhalte aus sinnlichen Darstellungen kann der diskursive Prozess der Wiedererinnerung ausgelöst werden.
Das dritte Kapitel wendet sich der modernen Philosophie der Mathematik zu. Die drei großen Schulen des Logizismus, Intuitionismus und Formalismus werden in Bezug auf ihre Beziehung zu antiken Positionen und ihrem Umgang mit metaphysischen Grundlagen untersucht. Das Kapitel analysiert dann die platonistischen Ansichten der Mathematiker und Physiker Werner Heisenberg, Kurt Gödel, Roger Penrose und Alain Connes. Obwohl sich ihre Ansätze unterscheiden, erkennen sie alle an, dass Mathematik ohne metaphysische Grundlage nicht existieren kann.
Das vierte Kapitel synthetisiert die vorhergehenden Analysen, um die vier Hauptthesen zu bewerten. Es wird argumentiert, dass Proklos eine integrierte Darstellung bietet, wie die Anerkennung der Gleichheit von zunehmender Komplexität sowohl bei Platon als auch bei Aristoteles als Grundlage des mathematischen Erkenntnisaktes fungiert. Die in These 1b identifizierte epistemische Lücke bleibt ein Problem für moderne Platonisten. These 2 zeigt, wie die drei modernen Schulen und einzelne Platonisten kritisch mit metaphysischen Annahmen umgehen.
These 3 schlägt eine potenzielle Lösung für die epistemische Lücke vor, die auf Konzepten aus der Antike und neurobiologischen Ansätzen wie dem von Connes beruht. Die Komplexität mathematischer Strukturen ermöglicht es, ihre metaphysische Existenz insoweit abzuleiten, als sie mit der sinnlichen Welt übereinstimmen und korrespondieren, während sie nur teilweise auf diese anwendbar sind. Ihre Komplexität, Kohärenz und Übereinstimmung bieten eine Rechtfertigung dafür, ihre metaphysische Wahrheit und Existenz zu akzeptieren. Die epistemische Lücke wird insofern überbrückt, als die physische Existenz sinnlicher Objekte und die metaphysische Existenz mathematischer Strukturen teilweise in deren Anwendung auf erstere zusammenfallen.
Zusammenfassend zeigt die Dissertation die anhaltende Relevanz und Fruchtbarkeit des transversalen Vergleichs der antiken mathematischen Philosophie mit modernen Positionen, um tiefere Einblicke in den spezifischen Charakter des mathematischen Erkennens und dessen metaphysische Grundlagen zu gewinnen.
This dissertation investigates the specific character of mathematical cognition from the perspective of ancient and modern philosophy of mathematics. Its four main theses address parallels between Platonic idealism and Aristotelian abstraction realism with respect to equality as a basis for mathematical cognition (thesis 1a), the epistemic gap between the sensible world and mathematical objects that arose already in antiquity (thesis 1b), how modern schools of thought engage with metaphysical foundations for mathematics (thesis 2), and how the epistemic gap could potentially be bridged (thesis 3).
The first chapter examines the philosophies of mathematics of Plato and Aristotle. It argues that a central parallel exists between them in the recognition of equality of gradually increasing complexity, which provides the foundation for mathematical cognition. The specific modes of sensory and intelligible cognition differ in their clarity of apprehending objects. However, an epistemic gap emerges between the sensible world and mathematical objects.
The second chapter considers how this gap was dealt with in late antiquity, examining especially works by Plotin and Proclus. Proclus in particular attempts to integrate the Platonic doctrine of anamnesis with Aristotleʼs concept of abstraction. By abstracting mathematical content from sensory representations, the discursive process of recollection can be triggered.
The third chapter turns to modern philosophy of mathematics. The three major schools of logicism, intuitionism and formalism are examined in terms of their relation to ancient positions and their engagement with metaphysical foundations. The chapter then analyzes the Platonist views of mathematicians and physicists Werner Heisenberg, Kurt Gödel, Roger Penrose and Alain Connes. While their approaches differ, they all acknowledge mathematics cannot exist without metaphysical grounding.
The fourth chapter synthesizes the preceding analyses to evaluate the four main theses. It argues that Proclus provides an integrated account of how the recognition of equality of increasing complexity operates in both Plato and Aristotle as the basis for mathematical cognition. The epistemic gap identified in thesis 1b remains a problem for modern Platonists. Thesis 2 reveals how the three modern schools and individual Platonists critically engage with metaphysical assumptions.
Thesis 3 suggests a potential solution to the epistemic gap, drawing on concepts from antiquity and neurobiological approaches like that of Connes. The complexity of mathematical structures allows inferring their metaphysical existence insofar as they cohere with and correspond to the sensible world while only being partially applicable to it. Their complexity, coherence and correspondence provide justification for accepting their metaphysical truth and existence. The epistemic gap is bridged to the extent that the physical existence of sensible objects and metaphysical existence of mathematical structures partially coincide in the latterʼs application to the former.
In summary, the dissertation demonstrates the ongoing relevance and fruitfulness of transversally comparing ancient mathematical philosophy with modern positions to gain deeper insight into the specific character of mathematical cognition and its metaphysical foundations.
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